Modul Aljabar SMPN 2 Pasawahan

MODUL PENDALAMAN MATERI ESENSIAL DAN SULIT

MATA PELAJARAN : MATEMATIKA

ASPEK : ALJABAR

STANDAR KOMPETENSI LULUSAN

2. Memahami operasi bentuk aljabar, konsep persamaan dan pertidaksamaan linear, persamaan garis, himpunan, relasi, fungsi, sistem persamaan linear, serta menggunakannya dalam pemecahan masalah.

Kemampuan yang akan diuji

Menghitung operasi tambah, kurang, kali, atau bagi atau kuadrat bentuk aljabar.

Kata Kunci

 Operasi tambah, operasi kurang, operasi bagi, variabel, sifat distributif, bentuk aljabar

suku sejenis dan koefisien, SPLDV.

INDIKATOR

► Menjelaskan pengertian suku, faktor, dan suku sejenis

► Menyelesaikan operasi hitung suku sejenis dan tidak sejenis.

► Menentukan penyelesaian dari Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

► Menyelesaikan soal cerita yang berkaitan dengan SPLDV

 PENDAHULUAN

Apa yang akan kamu pelajari? Menjelaskan pengertian suku, faktor, dan suku sejenis

Menyelesaikan operasi hitung suku sejenis dan tidak sejenis. Menggunakan sifat perkalian bentuk aljabar untuk menyelesaikan soal. Menentukan penyelesaian dari SPLDV serta menyelesaikan soal cerita berkaitan dengan SPLDV.

Untuk itu perhatikan uraian materi dibawah ini

MATERI 1

Pernahkah kamu sakit? Apa yang kamu lakukan? Apakah kamu ke dokter? Bila

kamu memeriksakan diri atau berobat ke dokter biasanya dokter akan memberikan resep.

Contoh obat yang dibeli dengan resep dokter

Pada botol Vitamin C tertulis sehari 3 x 1.

Pada botol obat batuk tertulis sehari 3 x 2sendok teh.

Apa arti “3 x 1” atau “3 x 2” itu?

Vitamin C 3 x 1 artinya dalam sehari vitamin C harus diminum 3 kali, sekali minum 1 tablet.

Dengan perkataan lain dalam sehari banyaknyavitamin C yang harus diminum adalah 3, yaitu 1 + 1 + 1. Sehingga 3 x 1 artinya 1 + 1 + 1.

Obat batuk 3 x 2 sendok teh artinya dalam sehari obat batuk harus diminum 3 kali, sekali

minum 2 sendok teh. Dengan perkataan lain dalam sehari banyaknya obat batuk yang harus diminum adalah 6 sendok teh, yaitu dari 2 + 2 + 2. Sehingga 3 x 2 artinya2 + 2 + 2.

Arti dari aturan pemakaian obat di atas sebenarnya sama dengan arti perkalian dalam matematika.

“3 x 1” dapat diartikan  3 x 1 = 1 + 1 + 1

“3 x 2”  dapat diartikan  3 x 2 = 2 + 2 + 2

Bilangan-bilangan dalam tanda kotak dapat digantidengan lambang sebarang bilangan asli, misalnya a. Sehingga bila diganti dengan huruf a, maka:1

Bentuk Aljabar

1 x a ditulis a

2 x a atau ditulis 2a, dan 2a = a + a

3 x a atau ditulis 3a, dan 3a = a + a + a

4 x a atau ditulis 4a, dan 4a = a + a + a + a,

dan seterusnya.

Perhatikan resep dokter “obat batuk sehari 2 x 2 sendok teh“. Dalam matematika, perkalian untuk bilangan yang sama, seperti“2 x 2” itu dapat ditulis 2² .Apakah pada obat yang dibeli dengan resep dokter dapat ditulis 2² ?

Jawabannya tidak dapat. Mengapa?  Coba jelaskan!

Selanjutnya pada matematika, 2 x 2 x 2 dapat ditulis 2³.

2 x 2 x 2 x 2 x 2 dapat ditulis 2⁵, dan seterusnya.

Penulisan itu berlaku juga untuk sebarang bilangan bulat, misalkan a.

Dengan demikian berlaku hal berikut.

a⁴ = a x a x a x a

a⁵ = a x a x a x a x a, dan seterusnya.

Perhatikan lagi huruf a dalam 2a, 3a atau a². Huruf a tersebut dinamakan variabel, sedang 2a, 3a atau a²disebut bentuk aljabar.

Contoh bentuk-bentuk aljabar dengan variabel a adalah 3a² + a, -2a. Contoh bentuk-bentuk aljabar dengan variabel b adalah b² + 4, 3b + 5 dan sebagainya. Contoh bentuk-bentuk aljabar dengan variabel a dan b adalah b² + a, 3b + 5a dan sebagainya

Perhatikan bahwa 1 a ditulis a

Perhatikan bahwa a¹ ditulis a

Sederhanakan penulisannya .

a. 6 x a

b. a x a x a x a x a x a x a

Contoh 1

Sederhanakan bentuk aljabar berikut:

a. 3a² + 4a²

b. –2b³ + 4b³ = (–2 + 4)b³ = 2b³

c. 9a – 13a = (9 – 13)a = -4a

Penyelesaian:

a. 3a² + 4a² = (a² + a² + a²) + (a² + a² + a² + a2 ) = 7a²

atau dengan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan

3a² + 4a² = (3 + 4)a² = 7a².

Untuk selanjutnya, kita pakai sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan untuk menjumlahkan bentuk aljabar itu.

b. –2b³ + 4b³ = (–2 + 4)b³ = 2b³

c. 9a – 13a = (9 – 13)a = -4a

Bentuk aljabar 5a³ + 4a² – a² + 9a + 6 dapat disederhanakan juga dengan mengumpulkan dan menjumlahkan atau mengurangkan suku-suku sejenis.

5a³ + 4a² – a² + 9a + 6 = 5a³ + (4-1) a² + 9a + 6

= 5a³ + 3a² + 9a + 6

Bentuk yang terakhir ini terdiri dari 4 suku, yaitu 5a³, 3a², 9a dan 6.

Contoh 2.

Sederhanakan bentuk aljabar berikut.

a. 3x⁴ + 2x² + x - 2

b. 6s³ + 2 s² – 3 s² + s - 5

Penyelesaian:

a. Bentuk aljabar ini tidak dapat disederhanakan lagi, karena tidak memiliki suku-suku yang sejenis.

b. 6s³ + 2 s² – 3 s² + s – 5 = 6s³ + (2 – 3) s² + s – 5

= 6s³ + (– 1) s² + s - 5

= 6s³ – s² + s - 5

Bentuk aljabar kadangkala menggunakan “perkalian”antara variabel dengan lambang bilangan bulat. Sehingga untuk menyederhanakannya kita menggunakan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan atau terhadap pengurangan. Untuk lebih jelasnya per hatikan contoh berikut.

Contoh 3

Gunakan sifat distributif  perkalian terhadap penjumlahan atau terhadap pengurangan untuk menyederhanakan soal-soal di bawah ini.

a. 5 ( a + 2b)                c. 525a x 35b

b. 7 ( 2x – 5)                d. (2a)3

Penyelesaian:

a. 5( a + 2b) = ( 5x a) + (5x2b)

= 5a + 10b

b. 7 ( 2x – 5) = 7 (2x) + 7(-5)

= 14x – 35

c. 25 a + 35 b = a + b

= 5a + 7b

d. (2a)³ = (2a)( 2a)( 2a)

= (2 2 2 ) (a a a )

= 2³ a³

= 2³a³

Contoh 4

Gunakan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan

atau terhadap pengurangan untuk menyederhanakan soal-soal

di bawah ini.

a. 5 ( a + 2b)    c.

b. 7 ( 2x – 5)    d. (2a)³

Penyelesaian:

a. 5( a + 2b) = ( 5 x a) + (5x 2b)

= 5a + 10b

b. 7 ( 2x – 5) = 7 (2x) + 7(-5)

= 14x – 35

c.  =

=  = 5a + 7b

d. (2a)³ = 2a 2a 2a

= (2 2 2 ) (a a a )

= 2³ a³

= 2³a³

Contoh 5

b. 4a – 3b – 5a + 2b = 4a – 5a – 3b + 2b

= (4 - 5) a + (-3 + 2) b

= (-1) a + (-1) b

= - a – b

Perhatikan bahwa bentuk-bentuk aljabar selalu memuat satu atau lebih dari satu variabel. Variabel itu dapat digantidengan sebarang bilangan bulat. Pada soal sering terdapat perintah untuk mengganti atau substitusi suatu variabeldengan bilangan tertentu. Bagaimana men dapatkan hasilnya?

Perhatikan contoh berikut.

Jika p = 2, q = 3 dan r = 6, carilah hasil dari:

a. p + q

b. p + q + 2r

c. 3 p2 – 2r

Penyelesaian:

a. p + q = 2 + 3 = 5

b. p + q + 2r = 2 + 3 + 2(6) = 2 + 3 + 12 = 17

c. 3p2 – 2r = 3 (2)2 – 2 (6) = 3 (4) – 12 = 12 – 12 = 0.

Papan nama perusahaan, hotel-hotel atau tempat-tempat hiburan pada umumnya berbentuk

suatu persegipanjang. Bila panjang dan lebar suatu papan nama adalah 3x meter dan x meter.

Berapakah keliling papan nama itu?

Penyelesaian:

Misalkan keliling papan nama = K meter, maka

K = 2 (3x + x)

= 2(3x) + 2(x)

= 6x + 2x

= 8x

Jadi, keliling papan nama itu adalah 8x meter.

Contoh 6

Jika p = 2, q = 3 dan r = 6, carilah hasil dari:

a. p + q

b. p + q + 2r

c. 3 p² – 2r

Penyelesaian:

a. p + q = 2 + 3 = 5

b. p + q + 2r = 2 + 3 + 2(6) = 2 + 3 + 12 = 17

c. 3p² – 2r = 3 (2)² – 2 (6) = 3 (4) – 12 = 12 – 12 = 0.

Contoh 7

Penyelesaian:

Misalkan keliling papan nama = K meter, maka

K = 2 (3x + x)

= 2(3x) + 2(x)

= 6x + 2x

= 8x

Jadi, keliling papan nama itu adalah 8x meter.

MATERI 2

Tentunya kalian masih ingat dengan bentuk-bentuk persamaan berikut:

3x + 8 = 14, dan juga 2p – 9q = 6

Disebut apa bentuk-bentuk tersebut? Ya benar, 3x +8 = 14 adalah persamaan linear satu variabel yaitu x, sedangkan 2p – 9q = 6 adalah bentuk persamaan linear dengan dua variabel yaitu p dan q.

Dua persamaan linear dengan dua variabel yang saling terkait dinamakan sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV).

Contoh bentuk x + y = 3 dan 4x – 3y = 5.

Untuk menentukan penyelesaian suatu SPLDV dapat dilakukan dengan antara lain dengan cara: eliminasi, substitusi, dan grafik.

Contoh 8.

Dengan cara eliminasi, SPLDV di atas dapat diselesaikan sebagai berikut:

 x + y = 3

4x – 3y = 5

Langkah pertama kita samakan koefisien x, maka:

 x + y = 3      ×4   4x + 4y = 12

4x – 3y = 5    ×1   4x – 3y = 5  ̠

                                     7y = 7

                                       y = 1

Selanjutnya kita samakan koefisien y, maka:

 x + y = 3      ×3   3x + 3y = 9

4x – 3y = 5    ×1   4x – 3y = 5 +

                             7x         = 14

                                    x = 2

Jadi, penyelesaiannya adalah x = 2, dan y=1.

Selanjutnya silakan SPLDV di atas kalian coba dengan cara substitusi dan juga grafik.

Dalam kehidupan sehari-hari penerapan SPLDV dapat dilakukan dalam beberapa hal, antara lain seperti pada contoh berikut.

Contoh 9.

Harga 6 ekor kambing dan 4 ekor sapi adalah Rp19.600.000,00. Harga 8 ekor kambing dan 3 ekor sapi adalah Rp16.800.000,00. Berapa harga 1 ekor kambing, dan berapa harga         1 ekor sapi?

Penyelesaian:

Misal; kambing adalah k, dan sapi adalah s, maka:

6k + 4s = 19.600.000

8k + 3s = 16.800.000

Selanjutnya silakan coba menyelesaikan soal tersebut dengan menggunakan cara eliminasi.

Jika hitungan kalian benar, maka diperoleh harga satu ekor kambing adalah Rp600.000,00 dan harga  satu ekor sapi adalah Rp400.000,00

SOAL LATIHAN

1.     Bentuk sederhana dari 5xy² – 4 – 3xy² + 3 adalah ….

a. 2xy² – 1 .                       c. 2xy² + 7                   

b. 8xy² + 7                         d.8xy² – 1

2. Pak Bromo memiliki satu meter kain. Untuk keperluan tertentu dipotong y cm. Sisanya adalah …

a. 1 – y                     c. 100 + y

b. 100 – y .              d. 100y

3. Jika y = 2 + 6x - 3x², nilai y untuk x = 3 adalah …

a. 5                          c. -3

b. -7                        d. 2

4.    Nilai x  dari 2(2x +10) = x + 2 adalah….

a. 6                          c. -6

b. 7                      d. 4

5. Jika penyelesaian dari sistem persamaan 5x – 3y = 25, dan 3x + 2y = - 4 adalah x dan y,

    nilai x – 4y adalah … .                                   

a. - 18                     c. 18

b. – 15                     d. 22

6. Suatu persegipanjang, panjangnya lebih 5 cm dari lebarnya. Jika keliling persegipanjang            62 cm, luas persegipanjang  itu adalah … .

a. 234 cm²                                  c. 274 cm²

b. 268 cm²                                 d. 278 cm²

TUGAS

Kerjakan soal di bawah ini.

1. 2a - 4 (a -b)h + 4a + 2bh = ....

a.       6a + 4ah – 2 bh

b.      6a + 4ah –  6bh

c.       6a + 4ah –  6bh

d.      2ah – 2 ah + 2bh

2. Diketahui a = 3, b = 2 dan c = 1.  Nilai T untuk T = a² - 2ab + bc = ....

a.       1

b.      0

c.       -1

d.      -2

3.  Umur Totok sekarang 13 tahun. Lima tahun yang akan datang umur Totok sama dengan 2 kali umur Tono.Umur Tono sekarang adalah.....

a.       6 tahun

b.      5 tahun

c.       4 tahun

d.      3 tahun

4.     Gambar di bawah ini adalah persegi dengan panjang sisi 3n.

 

Keliling dan luas persegi tersebut bertutut-

turut adalah

a.       12n cm dan 9n cm²

b.      6n cm dan 12n cm²

c.       12 cm dan 9n² cm²

d.      6 cm dan 9 n² cm²

a.       Tulis semua istilah matematika pada soal tersebut beserta artinya.

b.      Tentukan jawaban yang benar.

c.       Mengapa option yang lain salah?

d.      Sebutkan semua konsep yang terlibat pada soal tersebut.  Uraikan konsep tersebut beserta dengan contohnya.

5. Dua bilangan jumlahnya 43 sedangkan selisihnya 15.

Berapakah hasil kali kedua bilangan tersebut?