Teori grup adalah abstraksi gagasan yang umum untuk sejumlah bidang utama yang sedang dipelajari dasarnya secara bersamaan.
Tiga bidang utama yang menimbulkan teori grup adalah:
(1) geometri pada awal abad 19,
(2) teori bilangan pada akhir abad ke 18,
(3) teori persamaan aljabar pada akhir abad ke 18 yang mengarah ke studi tentang permutasi.
(1) Geometri telah dipelajari untuk waktu yang sangat lama sehingga
wajar untuk bertanya apa yang terjadi pada geometri pada awal abad 19
yang memberikan kontribusi pada peningkatan konsep kelompok. Geometri
telah mulai kehilangan 'metrik' nya karakter dengan geometri proyektif
dan non-euclidean sedang dipelajari. Juga gerakan untuk belajar geometri
dalam dimensi n mengarah ke abstraksi dalam geometri itu sendiri.
Perbedaan antara dan kejadian geometri metrik berasal dari karya Monge ,
muridnya Carnot dan mungkin yang paling penting pekerjaan Poncelet.
Non-euclidean geometri dipelajari oleh Lambert , Gauss ,Lobachevsky dan
János Bolyai antara lain.
Möbius pada tahun 1827, meskipun ia benar-benar menyadari konsep
kelompok, mulai mengklasifikasikan geometri menggunakan fakta bahwa
geometri tertentu studi sifat invarian bawah kelompok tertentu. Steiner
pada tahun 1832 mempelajari pengertian geometri sintetis yang akhirnya
menjadi bagian dari penelitian kelompok transformasi.
(2) Tahun 1761 Euler belajar aritmatika modular. Secara khusus ia
memeriksa sisa kekuasaan dari modulo n nomor. Meskipun Euler pekerjaan
', tentu saja, tidak dinyatakan dalam istilah teoritis kelompok dia
tidak memberikan contoh penguraian kelompok abelian ke cohimpunans dari
sebuah subkelompok. Dia juga membuktikan sebuah kasus khusus dari urutan
subkelompok menjadi pembagi dari tatanan kelompok.
Gauss pada tahun 1801 adalah untuk mengambil Euler pekerjaan 'lebih jauh
dan memberikan cukup banyak bekerja pada aritmatika modular yang
berjumlah cukup banyak teori kelompok abelian. Dia memeriksa perintah
elemen dan membuktikan (meskipun tidak dalam notasi ini) bahwa ada sub
untuk himpunaniap nomor membagi urutan grup siklik. Gauss juga diperiksa
kelompok abelian lainnya. Dia memandang bentuk kuadrat biner
ax 2 + 2 bxy + cy 2 di mana a, b, c adalah bilangan bulat.
Gauss memeriksa perilaku bentuk yang transformasi dan substitusi. Dia
partisi bentuk ke dalam kelas dan kemudian menentukan komposisi di
kelas. Gaussmembuktikan bahwa urutan komposisi tiga bentuk adalah
material begitu, dalam bahasa modern, hukum asosiatif berlaku. Bahkan
Gauss memiliki kelompok abelian terbatas dan kemudian (tahun 1869).
(3) Permutasi pertama kali dipelajari oleh Lagrange dalam makalahnya
1770 pada teori persamaan aljabar. Lagrange 's objek utama adalah untuk
mengetahui mengapa dan quartic persamaan kubik dapat diselesaikan secara
aljabar. Dalam mempelajari kubik, misalnya, Lagrange mengasumsikan akar
dari persamaan kubik yang diberikan adalah x',''x dan x'''. Kemudian,
mengambil 1, w, w^2 sebagai akar kubus persatuan, ia memeriksa ekspresi
R = x '+ wx''+ w^2 x'''
dan catatan yang dibutuhkan hanya dua nilai yang berbeda di bawah enam
permutasi dari akar x ', x'', x'''. Meskipun awal kelompok teori
permutasi dapat dilihat dalam karya ini, Lagrange tidak pernah composes
permutasi nya sehingga dalam beberapa hal tidak pernah membahas kelompok
sama sekali.
Orang pertama yang mengklaim bahwa persamaan derajat 5 tidak bisa
diselesaikan secara aljabar adalah Ruffini . Pada tahun 1799 ia
menerbitkan karya yang tujuannya adalah untuk menunjukkan hal tdk dpt
memecahkan persamaan quintic umum. Ruffini karya 'didasarkan pada bahwa
dari Lagrange tetapi Ruffini memperkenalkan kelompok permutasi. Ini dia
sebut permutasi dan secara eksplisit menggunakan properti penutupan
(hukum asosiatif selalu berlaku untuk permutasi). Ruffini membagi
permutazione ke dalam jenis, permutasi semplice yaitu yang merupakan
grup siklik dalam notasi modern, dan composta permutasi yang
kelompok-kelompok non-siklik.
Permutasi composta The Ruffini terbagi menjadi tiga jenis yang dalam
notasi saat ini adalah kelompok intransitif, kelompok imprimitive
transitif dan kelompok primitif transitif.
Bukti Ruffini dari hal tersebut mengecewakan dengan kurangnya reaksi
terhadapnya, kertas Ruffini diterbitkan bukti lebih lanjut. Dalam sebuah
kertas 1802 ia menunjukkan bahwa kelompok permutasi dikaitkan dengan
sebuah persamaan tereduksi transitif mengambil pemahaman dengan baik di
luar itu dari Lagrange .
Cauchy memainkan peran utama dalam mengembangkan teori permutasi. kertas
pertamanya pada subyek tersebut adalah pada tahun 1815 tetapi pada
tahap iniCauchy dimotivasi oleh permutasi dari akar persamaan. Namun,
pada tahun 1844, Cauchy menerbitkan karya besar yang membentuk teori
permutasi sebagai subyek di dalam dirinya sendiri. Dia memperkenalkan
notasi kekuasaan, positif dan negatif, permutasi (dengan kekuatan 0
memberikan permutasi identitas), mendefinisikan urutan dari suatu
permutasi, memperkenalkan notasi siklus dan menggunakan istilah Systeme
des conjuguées substitusi grup. Cauchy panggilan dua permutasi sama jika
mereka memiliki struktur siklus yang sama dan membuktikan bahwa ini
adalah sama dengan permutasi yang konjugat.
Abel , pada tahun 1824, memberikan bukti diterima pertama dari hal tdk
dpt mencairkan dari quintic, dan ia menggunakan ide-ide yang ada di
permutasi dari akar tetapi sedikit baru dalam perkembangan teori grup.
Galois tahun 1831 adalah yang pertama untuk benar-benar memahami bahwa
solusi dari suatu persamaan aljabar adalah terkait dengan struktur
kelompok le Groupe permutasi yang berkaitan dengan persamaan. Dengan
1832 Galois telah menemukan bahwa sub kelompok khusus (sekarang disebut
subkelompok normal) yang mendasar. Dia menyebut kelompok dekomposisi ke
dalam cohimpunans dari sub dekomposisi yang tepat jika hak dan
dekomposisi cohimpunan kiri bersamaan. Galois kemudian menunjukkan bahwa
abelian sederhana kelompok non-order terkecil memiliki urutan 60.
Pekerjaan Galois tidak diketahui sampai Liouville menerbitkan makalah
Galois pada tahun 1846. Liouville melihat dengan jelas hubungan antara
teori permutasi Cauchy dan pekerjaan Galois. Namun Liouville gagal untuk
memahami bahwa pentingnya Galois bekerja terletak pada konsep kelompok.
Betti mulai pada tahun 1851 menerbitkan karya yang berhubungan teori
permutasi dan teori persamaan. Bahkan Betti adalah yang pertama untuk
membuktikan bahwa Galois 'kelompok yang terkait dengan persamaan
sebenarnya sekelompok permutasi dalam pengertian modern. Serret
menerbitkan sebuah pekerjaan penting membahas Galois 'kerja, masih tanpa
melihat pentingnya konsep kelompok.
Jordan dalam makalah dari 1869 dan 1870 menunjukkan 1865 bahwa ia
menyadari pentingnya kelompok permutasi. Ia mendefinisikan isomorfisma
kelompok permutasi dan membuktikan Jordan - Pemegang teorema untuk
kelompok permutasi. Holder adalah untuk membuktikan dalam konteks
kelompok abstrak pada tahun 1889.
Klein mengusulkan Program Erlangen pada tahun 1872 yang merupakan teori
klasifikasi kelompok geometri. Kelompok tentu menjadi tengah panggung
dalam matematika.
Mungkin perkembangan yang paling luar biasa datang bahkan sebelum Betti.
Hal ini disebabkan bahasa Inggris matematikawan Cayley . Pada awal 1849
Cayley menerbitkan kertas menghubungkan ide-idenya pada permutasi
Cauchy. Pada tahun 1854 Cayley menulis dua makalah yang luar biasa untuk
wawasan mereka memiliki kelompok abstrak. Pada waktu itu dikenal
kelompok hanya itu kelompok permutasi dan bahkan ini adalah daerah baru
secara radikal, namun Cayley mendefinisikan sebuah kelompok abstrak dan
memberikan tabel untuk menampilkan perkalian kelompok. Dia memberikan
Cayley tabel dari beberapa kelompok permutasi khusus tetapi, jauh lebih
signifikan untuk pengenalan konsep grup abstrak, dia menyadari bahwa
matriks dan quaternions adalah kelompok.
Cayley makalah tentang 1854 sangat jauh di depan waktu mereka bahwa
mereka memiliki dampak yang kecil. Namun ketika Cayley kembali ke topik
pada tahun 1878 dengan empat makalah tentang kelompok, salah satu dari
mereka yang disebut Teori kelompok, waktu yang tepat untuk konsep
abstrak kelompok bergerak menuju pusat penyelidikan matematika. Cayley
terbukti, di antara hasil lainnya, bahwa himpunaniap kelompok hingga
dapat direpresentasikan sebagai suatu grup permutasi. Cayley karya
diminta Hölder, pada tahun 1893, untuk menyelidiki kelompok order p 3,
pq 2, PQR dan p 4.
Frobenius dan Netto (mahasiswa Kronecker ) membawa teori kelompok maju.
Sejauh konsep abstrak yang bersangkutan, penyumbang utama berikutnya
adalah Von Dyck. Von Dyck , yang telah memperoleh gelar doktor di bawah
Klein 'supervisi kemudian menjadi asisten Klein. Von Dyck , dengan
kertas fundamental pada tahun 1882 dan 1883, dibangun gratis kelompok
dan definisi kelompok abstrak dalam hal generator dan hubungan.
Teori grup benar-benar datang dari umur dengan buku oleh Burnside Teori
kelompok order hingga diterbitkan pada tahun 1897. Kedua volume aljabar
buku oleh Heinrich Weber (seorang mahasiswa Dedekind ) Lehrbuch der
Aljabar diterbitkan pada tahun 1895 dan 1896 menjadi teks standar.
Buku-buku ini mempengaruhi generasi berikutnya matematikawan membawa
teori grup ke mungkin yang utama sebagian besar teori matematika abad ke
20.
Sumber :
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Development_group_theory.html